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如何用定義證明nn的n次方極限為0

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我曾在文章《數(shù)學(xué)科學(xué)是最廣大世界的最重要組成部分之一，不能算是自然科學(xué)》里分析到：“……數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是一種關(guān)于數(shù)字(人為定義的反映事物量化指標(biāo)和事物之間數(shù)量關(guān)系的一種特殊符號(hào)，其中的字母即不確定或尚未確定的數(shù)字，其中的變量即描述指定事物某個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的不斷變化的數(shù)字)、圖形的特殊符號(hào)的運(yùn)算和實(shí)證科學(xué)，這些符號(hào)之間有著較嚴(yán)密的邏輯關(guān)系。如式子“1+1=2”就表明:在自然數(shù)的發(fā)展過(guò)程中，先有符號(hào)“1”，才有符號(hào)“2”，且規(guī)定“2=1+1”，又如:平面四邊形符號(hào)就是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界某一側(cè)面可近似看成平面四邊形的物體的直觀表達(dá)，而“平面四邊形的內(nèi)角和是三角形的兩倍”就表明:兩個(gè)等底三角形可拼成一個(gè)平面四邊形。這些符號(hào)還代表事物的較精確的尺寸、范圍、程度、大小、空間位置關(guān)系等，即量化的和邏輯嚴(yán)密的符號(hào) 。比如:一個(gè)人身高1.90米，就比用文字語(yǔ)言“這個(gè)人長(zhǎng)得很高”精確得多；用數(shù)字、運(yùn)算符號(hào)和少量文字結(jié)合空間直角坐標(biāo)系內(nèi)球面與平面的具體位置精確表達(dá)它們的位置關(guān)系時(shí) ，就比光用數(shù)字、運(yùn)算符號(hào)和少量文字表達(dá)得既直觀又準(zhǔn)確。”可見(jiàn)，當(dāng)n→∞時(shí) ，根據(jù)事物的普遍聯(lián)系和永恒發(fā)展規(guī)律，對(duì)于反映事物運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的量化指標(biāo)和事物之間數(shù)量關(guān)系的一種特殊符號(hào)——實(shí)變量n，如果已由普通變量質(zhì)變成無(wú)窮級(jí)變量，它有兩種變化發(fā)展方向，即數(shù)學(xué)科學(xué)里的+∞和-∞，分如下兩種情況討論:
【?如何用定義證明nn的n次方極限為0】(1) 當(dāng)n→+∞時(shí)，設(shè)正變量n在永無(wú)止境地增大過(guò)程中，任一時(shí)刻的相對(duì)靜止數(shù)為常數(shù)a(a>0) ，則有n >>a 。這時(shí)對(duì)于高階無(wú)窮變量n^n，根據(jù)不等式的性質(zhì)，有n^n>>n^a>>a^a，而a^a屬于任意正實(shí)數(shù)，因此，當(dāng)n→+∞時(shí)，lim n^n→+∞，即高階無(wú)窮變量n^n不存在極限，它是相對(duì)于正無(wú)窮大量n的高階無(wú)窮大量。

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(2)當(dāng)n→-∞時(shí)，設(shè)負(fù)變量n在永無(wú)止境地減小過(guò)程中，任一時(shí)刻的相對(duì)靜止數(shù)為常數(shù)a＇(a′<0)，則有n<>-a＇>0 。這時(shí)對(duì)于高階無(wú)窮變量n^n ，有n^n=-1/(-n)^(-n)，且根據(jù)不等式的性質(zhì)，有(-n)^(-n)>>( -n)^(-a＇)>>(- a＇)^(-a＇)>0，而(- a＇)^(-a＇)屬于任意正實(shí)數(shù)，因此，當(dāng)n→-∞時(shí) ， (-n)^(-n) →+∞，則 n^n=-1/(-n)^(-n)→0-，lim n^n=0，即高階無(wú)窮變量n^n存在極限0 ，它是相對(duì)于負(fù)無(wú)窮大量n的負(fù)無(wú)窮小量。
綜上討論，當(dāng)實(shí)變量n→∞時(shí)，嚴(yán)格地講，其高階無(wú)窮變量n^n整體上呈發(fā)散式變化，不存在極限值。

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