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立體幾何的四個基本定理（無邊的奇跡源于簡單規(guī)則的無限重復(fù)）
伽利略說：大自然的語言是數(shù)學(xué) ，它的標(biāo)志是三角形、圓和其他圖形。但是對于了解大自然的復(fù)雜性來講，幾何學(xué)是一種不充分、不具有普遍性的抽象。
1883年，康托爾為數(shù)學(xué)引入了一個分形：康托爾集，取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段再分別三等分……如此重復(fù)這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮。
1895年，魏爾斯特拉斯提出了第一個分形函數(shù)“魏爾斯特拉斯函數(shù)”, 并憑借函數(shù)曲線特點“處處連續(xù)，處處可以無限細(xì)分下去，”證明了所謂的“病態(tài)”函數(shù)的存在性。
1906年，科赫在論文《關(guān)于一條連續(xù)而無切線，可由初等幾何構(gòu)作的曲線》中提到了一種像雪花的幾何曲線，它的每條曲線都可以相似的形狀無限大的細(xì)分下去，而這個雪花曲線就是特例科赫曲線。

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1914年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基利用等邊三角形，沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形，去掉中間的那一個小三角形。再對其余三個小三角形重復(fù)之前的操作，發(fā)現(xiàn)了可以無限細(xì)分下去的謝爾賓斯基三角形。兩年后，他用類似的方法將正方形進(jìn)行分形，發(fā)現(xiàn)了正方形的分形——謝爾賓斯基地毯。

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01
芒德勃羅1924年11月20日生于波蘭華沙，祖籍是立陶宛猶太人。芒氏的思維方式很特別，喜歡幾何是一個特征。
他特別重視當(dāng)時那些非主流的思想，尤其是那些被稱作“病態(tài)的”及“直覺的”東西，比如：康托三分集、維爾斯特拉斯不可微曲線、可充滿正方形區(qū)域的皮亞諾曲線、謝爾賓斯基地毯與海綿、柯赫雪花曲線和粒子布朗運動等等。
長期的觀察分析、收集與總結(jié)，使芒德勃羅獲得這樣一個印象，除了光滑的歐氏幾何以外，應(yīng)該還有一種不光滑的幾何，這種幾何更適合于描述大自然的本來面目。
1967年，法國數(shù)學(xué)家芒德勃羅（1924-）在美國《科學(xué)》雜志上提出一個問題："英國的海岸線有多長？”他自己的回答卻使人們大吃一驚，海岸線的長度可以認(rèn)為是不能確定的！這取決于測量所用的測度。比如從飛機(jī)上往下測，數(shù)值為a；若人沿著海岸步行測，海岸線長b等于步長乘步數(shù) 。

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由于步行時經(jīng)過的彎曲比飛機(jī)上觀察的要細(xì)致得多，從而b大于a；如果是一只小由沿海岸線爬行測量，經(jīng)過的彎曲又比人步行時更多，測得數(shù)值c必定又大于b 。這就是說，對海岸線觀察得越貼近，越仔細(xì)，發(fā)現(xiàn)的彎曲細(xì)節(jié)就越多。
但是，當(dāng)你把從空中拍攝的100千米長的海岸線與放大了的10千米長的海岸線的兩張照片相比較，竟會發(fā)現(xiàn)它們看上去十分相似，這就是自相似性。具有自相似的圖形在客觀世界中大量存在。芒德勃羅給具有這種性質(zhì)的復(fù)雜圖形命名為Fractal，譯成中文叫“分形”.
【無邊的奇跡源于簡單規(guī)則的無限重復(fù) ?立體幾何的四個基本定理】1964年芒德勃羅參加了在耶路撒冷舉行的邏輯學(xué)與科學(xué)哲學(xué)大會，在會上作了“嘗試性的分形宣言”的報告，可是沒有正式發(fā)表出來。他還在深思，當(dāng)今學(xué)科分化與設(shè)立都很嚴(yán)密，如果要有新的成就，就必須要創(chuàng)立個新學(xué)科。

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在芒德勃羅 1975年出版的《大自然的分形幾何學(xué)》一書中，有這么幾句話：“云不只是球體，山不只是圓錐，海岸線不是圓形，樹皮不是那么光滑，閃電傳播的路徑更不是直線。它們是什么呢？它們都是簡單而又復(fù)雜的‘分形’……”分形的提出是為了更好地去描述、解釋真實的大自然。也正因為此，芒德勃羅被稱為“分形之父” 。

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02
芒德勃羅打破正統(tǒng)思維形式，利用自相似的觀點對不規(guī)則又極其復(fù)雜的事物進(jìn)行了“分形” 。這種分形的科學(xué)稱為分形幾何或分形理論，換句話說，分形幾何學(xué)研究的對象都有一個共性，就是自相似性，即局部形態(tài)與整體形態(tài)的相似。
分形幾何是芒德勃羅在1983年首先創(chuàng)立的，是一門邊緣學(xué)科，有著極其廣泛的應(yīng)用。
分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)不變。
芒德勃羅細(xì)心地分析了布朗運動，終于發(fā)現(xiàn)了隱藏在不規(guī)則運動中的分形問題。芒德勃羅認(rèn)為布朗運動的基本形式是隨機(jī)行走，所使用的基本數(shù)學(xué)知識是高斯的正態(tài)分布，所謂正態(tài)分布是呈鐘形（古代鑄的鐘）曲線形狀的一種分布。
法國數(shù)學(xué)家萊維在研究這個問題時提出：布朗運動過程的整體與部分有時有相似性。雖然通常的想法是高斯過程，即正態(tài)分布，但是萊維證明了隨機(jī)行走（或飛行）還具有自相似性。萊維的這一思想對芒德勃羅影響極大。
從1977年芒氏的“分形”一書中，可以看出，他已經(jīng)自如地將“萊維飛行”運用于各種場合。遺憾的是，科學(xué)界直到20世紀(jì)90年代才認(rèn)識到這部分工作的重要性。

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03
我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“就數(shù)學(xué)本身而言，是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的……認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味的人，只是看到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，而沒有體會出數(shù)學(xué)的內(nèi)在美 ?！?br /> 中國著名學(xué)者周海中教授認(rèn)為：分形幾何不僅展示了數(shù)學(xué)之美，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)，對它的研究也極大地拓展了人類的認(rèn)知疆域。
佛典中有一句話：一花一世界，一葉一菩提
那現(xiàn)在我們看到這個世界本身就是自相似的。說明我們生活在宇宙中本身也被這樣的簡單規(guī)則引領(lǐng)著，無窮無盡。

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