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最值問題分代數(shù)最值和幾何最值兩類，其中代數(shù)最值主要考查方程與不等式及函數(shù)的性質(zhì)，而幾何最值涉及到圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)多個(gè)維度.因其既能考查學(xué)生知識(shí)的靈活運(yùn)用能力，又能更好的體現(xiàn)試題的區(qū)分度和效度，成為近幾年數(shù)學(xué)學(xué)科中考命題教師偏愛的壓軸題型之一.
初中數(shù)學(xué)幾何最值問題考查的知識(shí)要點(diǎn)主要有以下四個(gè)方面（1）公理：兩點(diǎn)之間線段最短（”將軍飲馬”問題、”螞蟻爬行”問題、”阿氏圓”問題、”兩邊之差”問題）（2）公理：垂線段最短（”跳遠(yuǎn)”問題、”胡不歸”問題）（3）定圓中的最長(zhǎng)弦是直徑（”不定圓”問題）（4）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（”360°旋轉(zhuǎn)”問題、”軌跡隱圓”問題）.
解決此類問題的常規(guī)方法是:建?！R(shí)?！媚?下面通過一道經(jīng)典問題來說一說幾何最值分析求解之道。
問題：在△ABC中， ∠ACB＝90° ， ∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A?B?C．
（1）如圖1，當(dāng)AB∥CB?時(shí) ，設(shè)A1B1與BC相交于D．證明：△A?CD是等邊三角形；
（2）如圖2，連接AA?、BB?，設(shè)△ACA1和△BCB1的面積分別為S?、S?．求證：S?：S?＝1：3；
（3）如圖3，設(shè)AC中點(diǎn)為E，A?B?中點(diǎn)為P，AC＝a ，連接EP，當(dāng)θ＝ °時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，最大值為 _____．
【分析】（1）當(dāng)AB∥CB?時(shí)，∠BCB?＝∠B＝∠B?＝30° ，則∠A?CD＝90°﹣∠BCB?＝60°，∠A1DC＝∠BCB1+∠B1＝60° ，可證：△A1CD是等邊三角形；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△ACA?∽△BCB?，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解；
（3）連接CP ，當(dāng)E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，EP最長(zhǎng) ，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到△A?B?C的位置時(shí)，此時(shí)θ＝∠ACA?＝120°，EP＝EC+CP＝1/2a+a＝3/2a．根據(jù)圖形求出此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角及EP的長(zhǎng)．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ，特殊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)及特殊三角形的性質(zhì)證明問題．
【解答】（1）證明：如圖，∵AB∥CB? ，
∴∠BCB?＝∠B＝∠B?＝30°，
∴∠A?CD＝90°﹣∠BCB1＝60° ， ∠A?DC＝∠BCB?+∠B?＝60°，
∴△A?CD是等邊三角形；
（2）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC＝CA? ， ∠ACA?＝∠BCB?，BC＝CB?，
∴△ACA?∽△BCB?，
∴S?：S?＝AC2：BC2＝12：（√3）2＝1：3；
（3）：如圖，連接CP，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到△A?B?C的位置時(shí)，
此時(shí)θ＝∠ACA?＝120°，EP＝EC+CP＝1/2a+a＝3/2a．
故答案為：120，3/2a．
【收獲檢測(cè)】
如圖，直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△ABC中，點(diǎn)D、E分別在直角邊AC、BC上，DE∥AB，EC＝4．
（1）如圖1，將△DEC沿射線AC方向平移，得到△D?E?C?，邊D?E?與BC的交點(diǎn)為M，連接BE? ，當(dāng)CC?多大時(shí)，△BME1是等腰直角三角形？并說明理由．
（2）如圖2 ，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α（0°＜α＜360°），得到△D1E1C ，連接AD?、BE?、邊D?E?的中點(diǎn)為F．
①在旋轉(zhuǎn)過程中，AD?和BE?有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
②連接BF，當(dāng)BF最大時(shí)，求AD1的值．（結(jié)果保留根號(hào)）
【最值問題分析求解的兩個(gè)角度，高分必備】【提示】（1）如圖1中，連接EE?，當(dāng)CC?＝2時(shí)jquery獲取最大值，△BME1是等腰直角三角形．利用平移不變性解決問題即可．
（2）①AD?和BE?相等．證明△BE?C≌△AD?C，即可解決問題．
②當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，BF最大為6+2√2．
【解題反思】
1、從”數(shù)”的角度——構(gòu)造與所求線段長(zhǎng)有關(guān)的不等關(guān)系
用來求最值的常規(guī)模型就是不等式，而與線段長(zhǎng)有關(guān)的不等關(guān)系，最常見的就是三角形的三邊關(guān)系。所以上述三題，核心思路都是構(gòu)造出與目標(biāo)線段有關(guān)的三角形jquery獲取最大值，然后借助三角形的三邊關(guān)系列出與目標(biāo)線段有關(guān)的不等式進(jìn)行求解。本題由三邊關(guān)系得EP≤CE+CP（共線時(shí)相等），本題中CE、CP為定值(思考為什么CP是定值)，所以EP最大=CE+CP 。從數(shù)的角度看，本題借助幾何關(guān)系構(gòu)造與變化線段有關(guān)的不等關(guān)系，解題的本源模型是不等式。雖是幾何題，但離不開代數(shù)的技能。
2、從”形”的角度——分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，直觀感受線段的長(zhǎng)短變化
深入思考后，我們可以描述出題目中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，想象出線段長(zhǎng)短變化的動(dòng)態(tài)過程。先通過動(dòng)圖直觀感受下。
通過動(dòng)態(tài)描述，更能夠直觀感受到線段長(zhǎng)短變化的過程，并形象的驗(yàn)證了之前借助不等式所獲得的數(shù)量結(jié)論。請(qǐng)同學(xué)們思考題中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)該如何描述，為什么是這樣的軌跡？
本文到此結(jié)束，希望對(duì)大家有所幫助。